从质点几何到九种平面几何

发表时间:2018-04-26 15:05:50 文章来源:芒果教育网 www.a615.com

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1)质点几何:初中时代

相信这里绝大部分人和我一样,都读过那么一些书,一本或者几本,这些书曾经深深地影响过他们自己。特别是中学时代,因为那时大家都慢慢俱备了一定的阅读理解能力,但是另一方面脑子里的世界观却还比较单薄,容易受外界的影响,所以那时用心阅读过几本好书往往能对自己的世界观乃至学业、性格等产生很大的影响。我相信许多人都有这个体会,对不对?

我这个人以前比较懒惰,读书不多,能逃避就逃避。这里注册的会员,如果单论文学作品,不是我谦虚,随机挑一百人的话,肯定有九十五个人的阅读量超过我,因为我只看过很有限的一些书,例如鲁迅全集,我就不曾看过,至今也提不起兴趣去看。但是,我看过的那些书,特别是中学时代读过的,许多都影响过我。如果细数起来,哪本书对我影响最大呢?答案是“九种平面几何”,因为这本书差点改变了我的学业。

平面几何,大家都知道是怎么回事情,初中初涉平面几何(小学那些简单的东西不算),我就喜欢上这门课,相信这里许多人也一样。其中有些命题,简洁优美,非常有趣,但是有些推理证明,难度却很大,能让人想破脑袋。那时我人很懒,应付功课倒不成问题,但是若论主动做点习题,主动读点功课以外的书,那无异于天方夜谭。偏偏那时我是老师和学校心目中参加数学竞赛的主要人选之一。

话说那个学期学完三角形后,数学老师将我和别的几个人叫去,给了我们一些题目,至今记得的有两个,证明西瓦定理、梅涅劳斯定理及其逆定理,第二天得给出证明,交卷。

作为学生,我虽然很懒,但是如果老师给我什么差事,我一般还是老老实实完成,怎么说也不能明着让老师失望,是不是。照例,我那天晚上试图证明这两个定理,可是左一实线,右一虚线,弄得满头大汗,草稿纸是撕了一张又一张,可是就是证明不出。这样折腾了好几个小时,我一会儿灰心丧气,一会儿恼羞成怒,自信心那不用多说,当然是严重受挫,似乎掉进了冰窟窿里。

第二天,关于这两个定理的证明,我交的是空白卷。在数学老师面前,我刻意装出一副无所谓的样子,其实内心羞愧死了。心里又估摸着你以后大不了不让我参加这劳什子竞赛,这对我或许还是好事。不料数学老师很委婉地说了我几句后,说这两个定理你能否证明,其实一点也不重要,重要的是它们能训练你怎么样去系统思考,怎么样做到有条不紊。

证明几何题真能训练系统思考,能做到有条不紊?我有些吃惊,因为我向来是拿起题就做,毫无章法,东一枪,西一炮的,做完后又抛诸脑后,然后是去疯玩,最多准备点说辞在父母面前搪塞。老师见我不信,说你回家看看这本书吧,依你的悟性,只要不懒,应该能看懂的。说罢借给我一本平装三十二开的书:“质点几何学”,只是因为事隔好多年,书的作者是谁,哪个出版社出版的,现在都没有印象了。

那本书我前后起起落落大约看了两个月,迷迷糊糊、似懂非懂地看了个大概,因为是借的,所以尽可能地要早点归还(尽管我的数学老师肯定不在意我拿多久)。质点几何学和中学课本那些东西截然不一样(当然内容差不多,都是平面几何是不是,但是其表述截然不一样)。从中我开始知道什么是笛卡儿标架,什么是矢量,甚至能照瓢画葫芦一般知道计算矢量的内积和外积。当然,质点几何学的核心部分是将平面几何的点看成是带质量的点,一个给定的几何图形就是一个转动意义下平衡的图形(大家知道,这相当于牛顿物理中的杠杆原理和动量矩守恒)。用质点几何学,我能三下五除二地证明我早先一筹莫展的西瓦定理、梅涅劳斯定理及其逆定理。当然,我不能在真正的数学竞赛里用上质点几何,但是这本书却给我带来了震撼和欣喜。

以正统的教科书眼光来看,质点几何学是某种意义上的奇山异石,或者旁门左道。既然是奇山异石或者旁门左道,它自然是饶有趣味的,因为它不会让你觉得千篇一律的混凝土,而是让你觉得像一条林中小径,让你相信前方有一些不知名的蘑菇或者野花待你去采摘。而那时的你是天真无邪的,无忧无虑的,目光是晶莹的,手心是空的,那林中小径是你能想像得到的最美的景色之一。实际上那本书是我整个初中时代读过的集知识和趣味于一体的少数几本书之一,和那些令人生厌、令人头疼的习题集或者教科书相比,它可爱得多。它让我相信,学习知识原来真的可以走不同的途径,殊途同归。从此,我对数学的兴趣上升了半个台阶,尽管还是和以前那样学得浮躁,一点也不踏实。

我那位初中数学老师将我从初一带到了初三。初三后,因为某种特别的原因我没有参加中考,而转入了另外一所中学,也就是我一个表姐任教的中学,继续读高一。当然啦,大家千万不要怀疑我没有参加中考而转入另外一所中学是因为我害怕考试而走后门......其实两者没有什么关系,我初中所读的学校恐怕比就读的高中更好一些。之所以转校,完全是因为一个表姐在那里教高中的缘故,老爸授权表姐对我进行适度的管束,比如说,如果我上课经常迟到早退的话。就这样,那位曾经让我觉得学习数学原来还能有一些趣味的初中数学老师就慢慢淡出我的视野,从此之后再也没有联系。现在想来,那位数学老师其实是个年轻的帅哥,尽管当时并不怎么觉得,呵呵。

打初中开始就知道我们所学的平面几何是欧氏(欧几里得)几何,它基于五个公理以及一些“合理的”定义,其中第五个公理并不能由之前的四个公理推导出(亦即它在欧氏几何里确实必须以公理的形式出现),尽管我至今也无法证明它必须是公理。那时知道有两个另辟蹊径的数学家,一个是俄罗斯的罗巴切夫斯基,另一个就是德国的黎曼,先后否定欧氏几何第五公设而独立提出了两套和欧几里得几何平行的新几何:罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼几何。我历来对旁门左道的知识感兴趣----当然话说回来,与其说这是出于某种求知欲,还不如说是出于某种猎奇心态----对自己的功课却不太感兴趣。所以,尽管自己中学数学学得并不怎么样,但是那时在自己的能力范围内对罗巴切夫斯基几何和黎曼几何表现得饶有兴趣(主要是黎曼几何,因为我可以在欧几里得圆上实现黎曼几何,这样就为学懂黎曼几何作了很好的铺垫),因为学习这些不仅能满足自己的猎奇心态,而且能在同学们面前口若悬河般吹牛,这对弥补我功课学得不扎实的形像肯定有好处的。当然,兴许最主要的原因是学习这些旁门左道的知识无须考试。如果像学欧几里得几何一样需要考试的话,我恐怕早就逃之夭夭、懒得学了。考试多烦呀,是不是?

2)雅格龙之九种平面几何:高中时代

高一学习相对轻松。我除了上课喜欢讲小话、偶尔迟到早退等不算多严重的缺点外,基本上是个循规蹈矩的好学生。那时真是处在无忧无虑的年纪,衣食住行这样令人心烦的事情,父母早就给我包办了,我的唯一任务就是在成绩通知单上取得几个好看的分数,而这对我而言并不是很难的事情,尽管我高一历史期中考试差点儿不及格。因此,那时有时间办墙报和黑板报,有时间参加课外活动小组,有时间开玩笑,或者去助人为乐让自己保持某种难以言说的舒畅心情。当然,我也必须承担某种似乎是天经地义的责任:代表年级(自然就是学校)参加奥林匹克竞赛,为学校争光。我至今不明白那是一种压力还是一种动力,也判断不出它给我带来的是生活中的荣耀还是累赘,尽管我自问从来没有那份天赋。但是那时人很单纯,老师和学校吩咐的、期待的,尽管我可能不愿意,但是表面上还是得微笑着接受,尽管接受之后往往是某种患得患失的心态伴随着我,而我一旁却不能将这种患得患失的心态表露出来,因为父母和老师早就假设了我与生俱来有某种承受能力,因为吃苦耐劳作为一种美好的品质,早就被深深地灌输到我们的脑海里。如果我企图逃避责任,父母的心就会被刺伤。

记得还是高一的哪天,和另外一、两个同学“奉命”去数学老师的办公室。办公室是个比较大的集体办公室,去的时候那个办公室几乎是空的,包括我们的数学老师在内,一共也只有两个。去的时候数学老师手头还有些事情没有最后完成,于是我们就在那个办公室闲坐或者闲荡,以打发时间。忽然,我看到某个办公桌上有一本大32开的平装书:“九种平面几何”,眼睛顿时一亮。眼睛一亮之后转而就是满腹狐疑:不是一共才三种平面几何(亦即通常的欧几里得几何,以及罗巴切夫斯基几何和黎曼几何等两种非欧几何)的吗?怎么一下子又冒出了六种?是不是骗人的?要知那罗巴切夫斯基已经非常有名了,那黎曼更是不得了,可以说是数学史上最伟大的几个数学家之一呢,尽管他英年早逝(不到40岁就因早年的贫寒和疾病死亡)。历史上的数学大师我大都能知道个大概,怎么就不知道谁和谁发现了另外六种平面几何呢?奇怪了!受好奇心驱使,我忙用眼睛扫了扫办公室,稍微提高些声调说了句“哦,九种平面几何”,然后又刻意笑了笑,也不管书是谁的,礼貌不礼貌,拿起来就看(自然是先看封面和封底,呵呵)。这时我那数学老师大概忙得差不多了,见我从办公桌上拿本书在看,似乎觉得要交代一句,就朝另外一个老师解释道:“这是我的学生,XX老师是她的表姐。”另外一个老师听见我是XX老师的表妹,忙抬头笑道:“感兴趣是吧?要是感兴趣,拿回家去看就是了,我给你打个招呼。”我有些讪然,有些发窘道:“是很有意思的,如果这位老师能借我几天就好了......如果到时有兴趣,我就去袁家岭新华书店去买(当时大约是长沙最大的书店)。不过,这位老师不在,到时我来这里直接找这位老师借好了。”

我将书名、出版社名(记得好像是上海科技出版社)、ISBN、定价等抄写到一张纸片上,出了办公室。第二天我直接找这个老师借到这本书,平装大三十二开,并说,我周末就去书店买,如果没有买到,就找出版社直接邮购,买到后就将书归还。那位老师说,这本书好像没有再版,第一版出版时间已经好多年了,即使找出版社,恐怕也难得买到。

周末按照计划跑了五一路新华书店和袁家岭新华书店,只是,天知道我是刻意去买书,还是假借其名去逛街。那时尽管年轻,体力好,但是商场和书店都很拥挤,小半天时间,脚板根儿就可以踩成两截,特别是在中山路百货大楼之类的地方,那拥挤程度,稍不甚,钱包就可能不翼而飞。结果雅格龙的九种平面几何没有买着,倒买来了别的几本书:有些是给自己买的,有的则是给别人买的。给自己买的书,内容可能很杂,但是肯定没有习题集,因为我不喜欢做习题。有的习题很难,耗费我脑细胞之余还严重地打击我的自信心,我觉得得不偿失。我当然不希望自己过于平庸,但是若在迎接挑战和得过且过之间选择的话,我宁可选择后者。那些送给别人的书则是我自作主张挑选的,别人喜欢不喜欢不是我考虑的,我无缘无故送别人书的主要目的,我现在想来,还是基于潜意识下推销自己对某些学科特别是非课堂知识的理解,希望得到别人的认同。那些送出去的书,我其实也基本上看不懂,但是那没有关系,因为我如果看不懂,别人也基本上看不懂,而我多少略知皮毛,所以我总是有在别人面前吹嘘和海阔天空的资本,尽管我说的大部分是错的,但是别人并不知道我说的是错的。

于是只好回头啃那本借来的书,同时与上海科技出版社联系。古人所云,书非借不能读也,还真的有道理。我没法知道能否从出版社买来此书,又不好意思从那位和我并不熟的老师那里借很长的时间,所以只好抓紧时间阅读,只不过书不是自己的,素来喜欢在书上做记号划横线的我只好忍得牙痒痒的。那本书的译者是谁我忘记了,但是作者雅格龙却深深地印在了我这木木笨笨的脑袋里。作者雅格龙是俄罗斯人,据译者所记载,原书名是《伽里略相对性原理和非欧几何》,但是书比较长,译者选择了翻译前两章,外加一个很长的附录,《九种平面几何》这个书名实际上是译者加上去的。书并不难,我那时勉强就能看懂大半,算得上是深入浅出,那种行文之优雅、结论之简洁、论证之巧妙,让我不得不和艺术品这个词语联系起来。后来我成了学校数学和物理两科的奥赛成员,高二就开始学一元初等微积分,间接地知道了以俄罗斯人为代表的东欧人的厉害,那种严谨和简洁,以及训练有素,再加上《九种平面几何》等书的行文之风,让我对俄罗斯、波兰、匈牙利的学生敬畏了许多年,直到我研究生学业阶段。

当上海科技出版社最终将据说已是所剩无几的《九种平面几何》之一寄给我时,我已经将那本借来的书看得差不多了。当收到那本渴望已久的书时,我心里忽然产生了一种怪念头,希望自己能变得激动起来,因为自己如果还能激动的话,那就表明了我对学习新知识还是很渴望的,也就是说,我以后基本上还能更上一层楼。我拆开了书,很新,散发出一种淡淡的书香,给我的感觉是那般遥远和熟悉,像某种君子之交的朋友,尽管我至今也没有为它激动过。从书中我知道了平面几何依照边和角的度量是椭圆形、双曲型或者抛物型而分成九类,例如最简单的欧几里得几何,其边和角的度量都是抛物型的,黎曼几何对应于椭圆-抛物型。从代数角度而言,每种平面几何对应于某种变换群的不变量论(这就是德国数学家克莱茵著名的埃尔朗根纲领,对数学本质的理解产生了深远的影响),例如欧几里得几何对应于伽里略变换群(从物理角度而言,这就是牛顿经典力学),洛沦滋变换群实际上对应于电动力学和狭义相对论。那时初步感觉到了数学和物理之间这种简单和对称之美,尽管以后我没有继续学这两门学科之一,但是这种简单和对称之优美,却足以震撼人心,给人以欢愉和快乐。我觉得,现在有些诗人大谈特谈什么数字和诗歌之联系,或者什么诗歌之美的科学根据,那完全是无稽之谈。文学里诸多理论中唯一称得上美的,只有近体诗歌的格律理论,但是其美给你的感受,却和能真正领悟伽里略变换群和牛顿力学之间本质上是一回事情给你的震撼,那还是远远不能相提并论的。

这本书尽管我以前非常喜欢,但是其内容我现在也只能记得个大概了。1999年我初次离家去北京上学,我就将它带在身边,后来我还令人惊奇地学了一年的统计,我不知这本书曾经给我带来的潜移默化在其中起了多大的作用。来美国前因为行礼很重,很多书就只能留在老家那个书柜里。那个书柜是父母为我特地买的,我的小学课本、中学课本、许多大学课本以及几本日记、画过的一些画、一叠奖状和荣誉证书等,如今都尘封在那个柜子里,没有谁去动它,包括我父母,也不会去刻意动它,最多为它掸去落尘,使得那份记忆、那份全家享受天伦之乐的记忆保持新鲜,不忍心让它蒙上灰尘。

书的最后部分是个附录,很长,大约有几十页,主要内容是用仿射几何,从惯性参照系中光速不变这个假设(基于著名的迈克尔-莫雷实验。这个实验和伽利略比萨斜塔实验一起,是人类历史上最重要的两个实验,后者导致了文艺复兴和牛顿经典物理学)出发,很美妙、很简洁地导出了络伦滋时空变换和狭义相对论。那种推导之美妙给我带来的震撼犹胜于几年前用质点几何证明西瓦定理和梅涅劳斯定理,因为后者所涉及的只是平面几何而已,其本质在笛卡儿的坐标架下早已一览无余;而前者,它则向我展示了原来物理和数学是那样的相通、一脉相承,其本质是那样的简洁、对称和完美。从此我对学习数学和物理的兴趣大增----这种兴趣并非只是不对功课和作业的心理上产生抵触,而是似乎从本质上对它们产生了某种“恋情”。

那时,虽然还只是高一,但是很明显,班上已经有同学开始刻意偏科。有的同学,特别是女同学,开始对物理爱理不理的,转而刻意阅读历史,因为那些物体受力分析将他们害得很苦。那时我知道他们在偏科,但是不理解。那时的我想必是非常的单纯,几乎一尘不染。我那时懵懵懂懂,无法体会出他们之所以偏科是在为两年后的高考提前做准备,我不俱备那种可贵的早熟品质。如果那时谁问我我以后是学文科还是理科,我会无法回答的,因为我似乎从来不考虑这些,尽管显然我的理科比文科强不止一个档次;我历史差点儿不及格,但是我讨厌它吗?根本就不,尽管我也不喜欢它。那时偶尔也幻想过以后当一名医生(因为我父亲曾经是医生),尽管我父亲不希望我涉足那涉及人命的领域去承担风险;有时又幻想去当名小学教师甚至幼儿园教师,因为那种轻松和宁静能让我有更多的机会闭起眼睛休息,我当然知道那样的工作是简单的,会让自己滋生一种慵懒和惰性,但是这并没有什么,我对世界本来就所求无多。

之前我学得最好的功课大约是化学和地理。这倒不是因为我多么喜欢这两门功课,也不是因为我刻意花了多少时间。事实上我几乎没有刻意在它们身上花时间,而且对化学还有点讨厌,因为它太杂,太罗嗦,但是令人惊奇的是,它们竟然是我学得最好的,特别是涉及天文地理之类的东西,我几乎能过目不忘。我因为佩服巴尔末,几经折腾总结了一个化学元素电离能规律的公式(上大学后我才发现那不过是量子力学的一个结论,但高中时代的我是不知道的----不但我不知,我的高中老师也不知,现在回想起来,原先我很佩服的化学老师实际上也不怎么样,呵呵),利用学校实验室的资源“造”出了绿色圆珠笔的油墨,用排列组合推导出了化学反应平衡常数的公式。于是乎,我成了化学老师眼中的香饽饽。化学老师要将我培养成为中学生化学联赛的主力,为学校争光,并许诺给我特权,例如能自由进出学校的实验室。

不过当我知道了用仿射几何导出洛伦滋时空变换公式后,我对学习物理和数学的兴趣大增。那时我异想天开,沿袭那种方法推导这个、推导那个,企望能得出让自己高兴的结论。现在我还记得那时我得到过两个最“成功”的结果:

A)在假设孤立系统里能量守恒、物体质量是速度的因变量的前提下推导出爱因斯坦的质能关系式:E=MC^2,并且静止质量非零的物体运动速度不能超过某个常数(显然,这个常数就是光速)。当然,质能关系式是狭义相对论里的一个推论,从物理角度而言没有什么新鲜的,但是当时我的确很高兴。另外,学习过大学物理的人也知道,能量守恒和时间平移的不变性是一回事情,所以这个推导如果有什么值得辩论和思索的地方,那自然在第一个假设,尽管它看上去很自然合理;

B)在假设孤立系统里能量守恒、物体质量是速度的因变量的前提下推证了电荷和速度、质量无关(也就是说,即使我假设电荷是速度和质量的因变量,电荷对速度的偏导数是零)。

我不知当时的物理和数学老师是不是很惊异于我的这些看似莫名其妙的推证,反正自那后,我逐渐疏远了化学,并且最终决定不参加化学联赛,尽管理论上我可以参加,但是一则我精力有限,我感兴趣的是物理和数学联赛,二则我也不想在自己不感兴趣的功课上浪费感情。

如此这般到了高三,我的时间和别人的一样,流到了太平洋爪哇岛。不管我是不是原意,我也到了该考虑以后所学专业的时候了,尽管我是很被动地迎来这一时间。那些早熟的同学早就偏科一两年了,我还在为自己没有机会上历史课而遗憾。父亲看得出我对数学和物理的偏爱,总是有意无意地阻止我堕入这样纯粹的理科之中。现在想来,他也害怕我一意孤行真报考数学或者物理专业,因为他知道,只要我考试正常,我基本上想进哪所大学就能进哪所大学,但是过于精明和实际的老爷子也知道,通常情况下毕竟那不应该是一个女孩子应该涉足的领域。他怕我一脚踏入空中楼阁而一事无成,甚至找不到工作。如果我一意孤行,他会臭骂我一顿。老爷子希望我别学那些看不见、摸不着的虚无缥缈的东西,要学点实际些的东西,例如计算机或者金融,就算学无所成,也能保证找份体面的工作,不至于失业(这也是我大学之所以选择计算机的主要原因,因为迫于老爷子的压力,呵呵)。每当我犯晕时,老爷子就搬出两件事实让我无从辩驳:其一,无论我对数学和物理倾注了多少热情,它们总不如我的化学那样出色,其中的根本原因,就在于我的不严谨;其二,他拿出那些比我聪明的人做例子,来说明我想读数学或者物理的荒谬。最有说服力的是我的表姐,我姑妈的女儿,若论IQ和所学之精,当在我之上,绝对不在我之下,当年是立志当个优秀的遗传学家,刚进北大时还是信誓旦旦的,随后就归于沉寂。

十年后的今天,我回首一想,不得不承认老爷子当年的谆谆告诫是对的。如果当年老爷子没有劝说我,或者我一意孤行,我很可能会后悔;如果我后悔而要找出个理由的话,我就将这一切归结于雅格龙的“九种平面几何”,它几乎改变了我所学的专业。

  

  

彭翕成注:我不认识这篇文章的作者。但很巧的是,《质点几何学》《九种平面几何学》也是我喜欢的书。

  

  

我在写《绕来绕去的向量法》《向量复数与质点》时都深受影响。


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